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已知函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1，求其单调递增区间。
答案：
(-∞, 0) ∪ (1, +∞)
解析：
求导得f'(x) = 6x² - 6x = 6x(x - 1)，令f'(x) > 0，解得x < 0或x > 1，故单调递增区间为(-∞, 0) ∪ (1, +∞)。
已知函数f(x) = e^x - ax - 1，其中a为常数。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)在区间[0, +∞)上的最小值为0，求a的值。
答案：
（1）当a ≤ 0时，f(x)在(-∞, +∞)上单调递增；当a > 0时，f(x)在(-∞, lna)上单调递减，在(lna, +∞)上单调递增；
（2）a = 1
解析：
（1）求导得f'(x) = e^x - a，当a ≤ 0时，f'(x) > 0恒成立，故f(x)在(-∞, +∞)上单调递增；当a > 0时，令f'(x) = 0，得x = lna，当x < lna时，f'(x) < 0，f(x)单调递减；当x > lna时，f'(x) > 0，f(x)单调递增。
（2）当a ≤ 0时，f(x)在[0, +∞)上单调递增，最小值为f(0) = 0，符合题意；当a > 0时，若lna ≤ 0，即a ≤ 1，则f(x)在[0, +∞)上单调递增，最小值为f(0) = 0，符合题意；若lna > 0，即a > 1，则f(x)在[0, lna)上单调递减，在(lna, +∞)上单调递增，最小值为f(lna) = a - alna - 1 = 0，解得a = 1，与a > 1矛盾。综上，a = 1。
证明：对于任意x > 0，有ln(x + 1) < x - x²/2 + x³/3。
解析：
令f(x) = x - x²/2 + x³/3 - ln(x + 1)，x > 0，则f'(x) = 1 - x + x² - 1/(x + 1) = (1 - x + x²)(x + 1) - 1 / (x + 1) = (x³ + 1 - 1) / (x + 1) = x³ / (x + 1) > 0，故f(x)在(0, +∞)上单调递增，又f(0) = 0，因此对于任意x > 0，有f(x) > 0，即ln(x + 1) < x - x²/2 + x³/3。